Utilisation des solutions d'entropie K-Branch pour les calculs d'optique géométrique à valeurs multiples (2023)

Nous proposons des méthodes de faisceau eulérien et lagrangien gaussien pour l'équation de Schrödinger avec des potentiels discontinus. Aux barrières quantiques où le potentiel est discontinu, nous dérivons des conditions d'interface appropriées pour tenir compte des informations de diffusion quantique. Ces conditions d'interface de diffusion sont ensuite intégrées aux flux numériques dans la formulation d'ensembles de niveaux eulériens des méthodes de faisceau gaussien, et sont également utilisées dans la formulation lagrangienne, y compris une condition d'interface pour la matrice hessienne. Nous réalisons des exemples numériques 1D et 2D pour vérifier la précision de la méthode.

Les équations cinétiques apparaissent dans une grande variété de systèmes physiques et des méthodes numériques efficaces sont nécessaires pour leur résolution. Les méthodes de moment sont une classe importante de modèles approximatifs dérivés d'équations cinétiques, mais nécessitent une fermeture pour tronquer l'ensemble de moments. Dans les méthodes de moment basées sur la quadrature (QBMM), la fermeture est obtenue en inversant un ensemble fini de moments pour reconstruire une distribution de points à partir de laquelle tous les moments non fermés (par exemple, les flux spatiaux) peuvent être liés à l'ensemble de moments finis. Dans ce travail, un nouvel algorithme d'inversion de moment, basé sur la quadrature adaptative 1-D des moments de vitesse conditionnels, est introduit et montre qu'il produit toujours des fonctions de distribution réalisables (c'est-à-dire des poids de quadrature non négatifs). Cette méthode de quadrature conditionnelle des moments (CQMOM) peut être utilisée pour calculer exactementNquadratures à points pour les solutions à plusieurs valeurs (également connu sous le nom de problème de moment tronqué multivarié), et fournit des approximations optimales des distributions continues. Afin de contrôler les erreurs numériques résultant de la moyenne du volume et du transport spatial, un algorithme de quadrature 1-D adaptatif est formulé pour être utilisé avec CQMOM. L'utilisation de CQMOM adaptatif dans le contexte de QBMM pour la résolution d'équations cinétiques est illustrée en l'appliquant à des problèmes impliquant le croisement de trajectoires de particules (c'est-à-dire des systèmes sans collision), des collisions particule-particule élastiques et inélastiques et des forces externes (c'est-à-dire la traînée de fluide ).

Les écoulements gaz dilué-particules peuvent être décrits par une équation cinétique contenant des termes pour le transport spatial, la gravité, la traînée de fluide et les collisions particule-particule. Cependant, la résolution numérique directe des équations cinétiques est souvent impossible en raison du grand nombre de variables indépendantes. Une alternative est de reformuler le problème en termes de moments de la distribution de vitesse. Récemment, une méthode de moment basée sur la quadrature a été dérivée pour approximer les solutions aux équations cinétiques. Le succès de la nouvelle méthode repose sur un algorithme d'inversion des moments qui est utilisé pour calculer les poids non négatifs et les abscisses à partir des moments. L'algorithme d'inversion des moments ne fonctionne pas si les moments ne sont pas réalisables, ce qui peut conduire à des poids négatifs. Il a été montré récemment[14]cette réalisabilité n'est garantie qu'avec le schéma de volumes finis du 1er ordre qui a un problème inhérent de diffusion numérique excessive. L'utilisation de schémas de volumes finis d'ordre élevé peut conduire à des moments non réalisables. Dans le présent travail, la réalisabilité des schémas de volumes finis à la fois dans l'espace et dans le temps est discutée pour la 1ère fois. Une idée généralisée pour développer des schémas de volume fini d'ordre élevé réalisables pour des méthodes de moment basées sur la quadrature est présentée. Ces schémas de volumes finis donnent une amélioration remarquable dans les solutions pour une certaine classe de problèmes. Il est également montré que les schémas standard d'intégration temporelle de Runge–Kutta ne garantissent pas la réalisabilité. Cependant, la réalisabilité peut être garantie si des schémas Runge – Kutta préservant la stabilité (SSP) forts sont utilisés. Les résultats numériques sont présentés sur des maillages cartésiens et triangulaires.

Les faisceaux gaussiens sont des solutions asymptotiques d'équations ondulatoires linéaires dans le régime haute fréquence. Cet article traite des formulations de faisceaux pour l'équation de Schrödinger et des conditions d'interface lorsque les faisceaux passent par un point singulier de la fonction de potentiel. Les équations satisfaites par les faisceaux gaussiens jusqu'au quatrième ordre sont données explicitement. Lorsqu'un faisceau gaussien arrive à un point singulier du potentiel, il se divise généralement en une onde réfléchie et une onde transmise. Dans des conditions appropriées, l'onde réfléchie et/ou l'onde transmise maintiendront un profil de faisceau. Nous étudions les conditions d'interface qui spécifient les relations entre les ondes dédoublées et le faisceau gaussien incident. Des tests numériques sont présentés pour valider les formulations de faisceau et les conditions d'interface.

L'équation de Schrödinger linéaire avec des potentiels périodiques est un modèle important en physique du solide. La simulation directe la plus efficace utilisant une méthode spectrale de fractionnement temporel basée sur la décomposition de Bloch[18]nécessite que la taille du maillage soit$O(ϵ)$où$ϵ$est le paramètre semi-classique mis à l'échelle. Dans cet article, nous généralisons la méthode du faisceau gaussien introduite dans Jin et al.[23]pour résoudre asymptotiquement ce problème. Nous combinons la technique de décomposition de Bloch et la méthode du faisceau gaussien eulérien pour arriver à une méthode de calcul eulérienne qui nécessite une taille de maille de$O(\sqrt{ϵ})$. La précision de cette méthode est démontrée par plusieurs exemples numériques.

Les écoulements gaz-particules dilués peuvent être décrits par une équation cinétique contenant des termes pour le transport spatial, la gravité, la traînée de fluide et les collisions particule-particule. Cependant, la solution numérique directe de l'équation cinétique est insoluble pour la plupart des applications en raison du grand nombre de variables indépendantes. Une alternative utile consiste à reformuler le problème en termes de moments de la fonction de distribution de vitesse. La fermeture des équations des moments est difficile pour les écoulements éloignés de la limite d'équilibre (maxwellienne). Dans ce travail, une fermeture de moment de troisième ordre basée sur la quadrature est dérivée et peut être appliquée aux écoulements gaz-particules à n'importe quel nombre de Knudsen. Un élément clé des fermetures basées sur la quadrature est l'algorithme d'inversion des moments utilisé pour trouver les poids et les abscisses. Une procédure d'inversion robuste est proposée pour des moments allant jusqu'au troisième ordre et testée pour trois exemples d'applications (problème de choc de Riemann, jets impactants et écoulement de canal vertical). L'extension de l'algorithme d'inversion des moments au cinquième ordre (ou supérieur) est possible, mais laissée à des travaux futurs. Les flux spatiaux dans les équations des moments sont traités à l'aide d'une description cinétique et donc un modèle de gradient-diffusion n'est pas utilisé pour fermer les flux. Étant donné que la méthode des moments basée sur la quadrature utilise directement les équations de transport des moments au lieu d'une forme discrétisée de l'équation de Boltzmann, la masse, la quantité de mouvement et l'énergie sont conservées pour un nombre de Knudsen arbitraire (y compris la limite d'Euler). Bien que développées ici pour les écoulements gaz-particules dilués, les méthodes de moment basées sur la quadrature peuvent, en principe, être appliquées à toute application qui peut être modélisée par une équation cinétique (par exemple, les écoulements thermiques et non isothermes actuellement traités à l'aide des méthodes de Boltzmann sur réseau), et des exemples sont donnés dans la littérature.

Journal des équations différentielles, Volume 256, Numéro 7, 2014, pp. 2194-2245

Nous établissons la bonne pose d'une classe d'équations de Hamilton–Jacobi du premier ordre dans des espaces métriques géodésiques. Le résultat est ensuite appliqué pour résoudre une équation de Hamilton–Jacobi dans l'espace de Wasserstein des mesures de probabilité, qui découle de la formulation variationnelle d'une équation d'Euler compressible.

Annales de l'Institut Henri Poincaré C, Analyse non linéaire, Volume 32, Issue 5, 2015, pp. 925-963

Nous fournissons une caractérisation des graphes de Lipschitz intrinsèques dans les groupes sous-riemanniens de Heisenberg en fonction de leurs gradients distributionnels. De plus, nous prouvons l'équivalence de différentes notions de solutions faibles continues à l'équation$\frac{\partial \varphi }{\partial z}+\frac{\partial }{\partial t}[{\varphi }^2/2]=w$, oùwest une fonction mesurable bornée.

Journal of Computational Physics, volume 430, 2021, article 110039

Des méthodes implicites précises en temps sont souvent utilisées pour intégrer des problèmes complexes où des schémas explicites imposent de sévères restrictions de pas de temps. Cet article présente un cadre numérique efficace basé sur la méthode de balayage rapide (FSM) pour résoudre des systèmes hyperboliques linéaires et non linéaires de lois de conservation. La solution à chaque emplacement discret est calculée en balayant le domaine numérique dans plusieurs directions prédéterminées qui suivent la causalité des familles caractéristiques. L'utilisation d'une stratégie d'étape fractionnaire élimine le besoin d'un critère de sélection de solution tandis que les gabarits unilatéraux limitent le nombre de balayages à au plus$2^d$pourddimensions de l'espace. Ce travail se concentre sur la méthode upwind implicite du premier ordre puisqu'elle constitue la pierre angulaire des schémas conservateurs d'ordre élevé. Pour les problèmes où le degré de rigidité évolue dans le temps, l'hybridation implicite-explicite peut être réalisée avec le même algorithme en changeant simplement le gabarit à chaque niveau de temps. Contrairement aux solveurs implicites traditionnels, la méthode de balayage ne nécessite pas de linéarisation temporelle locale des flux préservant ainsi les propriétés de stabilité non linéaire du schéma implicite d'origine. Il évite également les importantes exigences de calcul et de mémoire associées à la résolution de grands systèmes d'équations en diagonale par blocs. Une série de cas de test unidimensionnels et bidimensionnels est présentée pour l'équation de Burgers non visqueuse et les équations d'Euler réactives. Les résultats indiquent que le FSM implicite peut permettre une réduction importante du nombre de pas de temps même en présence de profils de solution discontinus.

Journal of Mathematical Analysis and Applications, Volume 492, Numéro 1, 2020, Article 124400

Nous montrons que les solutions faibles des équations dégénérées de Navier-Stokes convergent vers les solutions fortes du système d'Euler sans pression avec terme de traînée linéaire, répulsion newtonienne et confinement quadratique. La preuve est basée sur la méthode d'entropie relative utilisant la formulation de vitesse artificielle pour le système unidimensionnel de Navier-Stokes.

Journal of Mathematical Analysis and Applications, Volume 448, Numéro 1, 2017, pp. 245-261

Nous étudions le problème de Riemann des équations d'Euler compressibles pour le gaz de Chaplygin. Avec l'analyse sur la région physiquement pertinente, nous obtenons deux types de solutions de Riemann en utilisant la méthode d'analyse caractéristique. L'un se compose de trois discontinuités de contact et l'autre implique une onde de choc delta dans laquelle la densité et l'énergie interne contiennent simultanément la fonction delta de Dirac. Nous proposons à la fois une relation de Rankine–Hugoniot généralisée et une condition d'entropie pour ce type d'onde de choc delta. Les résultats numériques coïncidant avec l'analyse théorique sont également présentés.

Annales de l'Institut Henri Poincaré C, Analyse non linéaire, Volume 32, Issue 6, 2015, pp. 1307-1335